PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

ESTADISTICA

1.- ORIGEN Y SIGNIFICADO DE LA ESTADÍSTICA

En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones de Estado (recuentos, censos, etc.) y de ahí proviene su nombre. Hoy en día está presente en todos los ámbitos humanos, tanto individuales como colectivos.

La Estadística surge ante la necesidad de poder tratar y comprender conjuntos numerosos de datos. Los estudios estadísticos, en la actualidad, impregnan numerosos ámbitos: sanidad, mundo empresarial, medios de comunicación, etc.

Definición.- La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y análisis; así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse.

Fases de un estudio estadístico:

Ø Recogida de datos

Ø Recuento de datos: tablas y gráficos estadísticos.

Ø Análisis de los datos: parámetros estadísticos.

Ø Extracción de conclusiones de los datos.

Ø Toma de decisiones.

Podemos distinguir entre dos clases de Estadística:

Definición.- La Estadística descriptiva se ocupa de tomar los datos de un conjunto, organizarlos en tablas o en representaciones gráficas y del cálculo de unos números que nos informen de manera global del conjunto estudiado.

Definción.- La Estadística inferencial trata sobre la elaboración de conclusiones para la población, partiendo de los resultados de una muestra y del grado de fiabilidad de estas conclusiones.

2.- CONCEPTOS BÁSICOS EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO.

· Población.- Es el conjunto formado por todos los elementos que existen para el estudio de un determinado fenómeno.

· Individuo u objeto.- Es cada elemento de la población.

· Muestra.- Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar el estudio del fenómeno.

· Tamaño de la muestra.- Es el número de individuos que componen la muestra.

· Variable o carácter estadístico.- Es la cualidad o propiedad del elemento de la población que se analiza en el estudio estadístico.

Tipos de variables:

Ø Variables cualitativas: no se pueden medir y se describen con palabras.

Ejemplos: razas de perro, estado civil de una persona, color de ojos…

Ø Variables cuantitativas: se pueden medir y expresar con números.

Pueden ser de dos tipos:

- Discretas: solo pueden tomar un número finito de valores numéricos:

Ejemplos: número de hermanos, número de parados de una ciudad, número de habitantes menores de edad…

- Continuas: pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado.

Ejemplos: estatura de una persona, peso de una persona…

Ejemplo completo:

Se desea realizar un estudio sobre el número de hijos por familia en la provincia de Ciudad Real.

- Población: familias de Ciudad Real.

- Individuo: cada una de las familias.

- Muestra: elegimos una muestra aleatoria (al azar) de 1000 familias distribuidas por toda la provincia.

- Tamaño de la muestra: 1000

- Variable: número de hijos. Es una variable cuantitativa y discreta.

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Ejercicios:

1.- Clasifica las siguientes variables estadísticas:

a) Número de músculos de los animales vertebrados.

b) Intención de voto.

c) Velocidad que, en un instante dado, llevan las motocicletas que circulan por las carreteras y calles de una gran ciudad española.

d) Talla de pantalones de los alumnos de tu centro.

e) Tipos de zumos que prefieren los adolescentes.

f) Temperatura mínima en tu ciudad cada día del año.

g) Las marcas de los coches que circulan en España.

h) Deporte practicado por los chicos y chicas de tu centro.

i) La duración de cada pila eléctrica producida por una empresa durante un semestre.

3.- RECUENTO. TABLAS ESTADÍSTICAS.

El primer paso de cualquier estudio estadístico es recoger los datos. Normalmente se suele llevar a cabo a través de encuestas o entrevistas, según la población a estudiar, su tamaño, el tiempo de que dispongamos,…

Una vez que tenemos los datos recogidos, pasamos a hacer el recuento: contanto el número de veces que aparece cada valor de la variable a estudiar.

Ejemplo 1.- Preguntamos a 20 alumnos el número de miembros de su familia, y sus respuestas fueron:

3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3

Miembros por familia	Frecuencia
3	5
4	4
5	6
6	2
7	2
8	1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Los valores de las variables estadísticas continuas se agrupan por intervalos o clases. Además, si la variable es discreta y toma muchos valores, también se suele agrupar por intervalos o clases.

El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula como la semisuma de los extremos del intervalo.

Para construir los intervalos tenemos que tener en cuenta:

- Es conveniente que el número de intervalos que debemos considerar en cualquier estudio esté entre 5 y 10.

- Usualmente tomamos los intervalos con igual amplitud o longitud.

- El recorrido de la variable es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño. La amplitud de cada intervalo se calcula dividiendo el recorrido de la variable entre el número total de intervalos.

Ejemplo 2.- A los 100 empleados de una empresa de piezas de precisión, se les ha realizado una prueba de habilidad manual. En una escala de 0 a 100 se han obtenido las siguientes puntuaciones:

27, 66, 32, 55, 46, 37, 75, 81, 18, 33, 47, 74, 37, 52, 47, 66, 80, 87, 37, 29,

46, 15, 29, 90, 76, 67, 23, 35, 94, 23, 25, 56, 73, 78, 17, 28, 76, 58, 45, 36,

55, 60, 17, 56, 23, 82, 64, 50, 51, 45, 37, 65, 62, 26, 69, 36, 54, 42, 40, 54,

27, 62, 28, 65, 46, 92, 36, 33, 23, 66, 18, 82, 47, 49, 59, 45, 73, 43, 47, 83,

78, 65, 39, 36, 53, 91, 38, 35, 68, 78, 91, 23, 34, 43, 55, 56, 74, 56, 62, 38.

Observamos que los valores extremos son 15 y 94. La amplitud total entre los datos es de 80 puntos, ya que ambas puntuaciones están incluidas.

Agruparemos los datos en 8 intervalos de amplitud 10:

, …,

. Realizando el recuento con atención, se obtiene la tabla que sigue:

Habilidad manual	Marca de clase	Frecuencias
	19	10
	29	12
	39	17
	49	18
	59	13
	69	13
	79	11
	89	6

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Para construir una tabla estadística completa tenemos que calcular:

· Frecuencia absoluta () de cada valor : es el número total de veces que aparece el dato .

· Frecuencia absoluta acumulada () de cada valor : es la suma de todas las frecuencias absolutas correspondientes a los valores anteriores a y a la suya propia. No tiene sentido para variables cualitativas.

· Frecuencia relativa () de cada valor : se calcula dividiendo la frecuencia absoluta correspondiente entre el número total de datos N.

· Frecuencia relativa acumulada () de cada valor : es la suma de todas las frecuencias relativas correspondientes a los valores anteriores a y a la suya propia. No tiene sentido para variables cualitativas.

Ejemplo 1.- Preguntamos a 20 alumnos el número de miembros de su familia, y sus respuestas fueron:

3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3

Miembros por familia	Frecuencia absoluta	Frecuencia absoluta acumulada	Frecuencia relativa	Frecuencia relativa acumulada
3	5	5	0,25	0,25
4	4	9	0,2	0,45
5	6	15	0,3	0,75
6	2	17	0,1	0,85
7	2	19	0,1	0,95
8	1	20	0,05	1

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Ejercicios:

2.- Una determinada especie de mamíferos tiene en cada parto un número variable de hijos. Se observa que las camadas de 35 familias durante un año han sido las que se recogen en la tabla adjunta:

Número de hijos	0	1	2	3	4	5	6	7
Número de familias	2	3	10	10	5	0	5	0

Elabora una tabla estadística completa con todos los tipos de frecuencias existentes.

3.- La realización de una prueba de habilidad motora por parte de 60 niños han dado los resultados que siguen:

15, 35, 18, 23, 75, 81, 19, 27, 15, 18, 63, 45, 31, 32, 45, 18, 29, 17, 30, 77,

76, 75, 19, 15, 23, 35, 81, 15, 81, 41, 76, 24, 27, 69, 15, 18, 13, 18, 76, 14,

29, 31, 52, 46, 18, 17, 35, 62, 44, 31, 18, 27, 32, 74, 19, 31, 47, 19, 82, 50.

a) Agrupa estos datos en intervalos de amplitud 5, realizando la correspondiente tabla estadística completa.

b) Responde a las mismas cuestiones del apartado anterior tomando clases de amplitud 10.

4.- En 1797 el científico inglés Henry Cavendish midió la densidad de la Tierra a través de una balanza de torsión. Realizó 29 observaciones y obtuvo los siguientes valores (en

5,50 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65

5,57 5,53 5,63 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,39

5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85

Agrupa los datos en 5 clases de amplitud 0,25, considerando como límite inferior de la primera clase el valor 4,75 y construye la correspondiente tabla completa de frecuencias.

4.- GRÁFICOS PARA VARIABLES ESTADÍSTICAS CUALITATIVAS.

Las tablas estadísticas muestran la información de forma esquemática y están preparadas para cálculos posteriores. La misma información estadística puede mostrarse de forma global y más expresiva, utilizando los gráficos estadísticos. Los gráficos poseen un fuerte poder de comunicación de los resultados de un estudio estadístico.

Detallamos, a continuación, los principales gráficos que permiten describir variables cualitativas:

a) Diagrama de barras

Consiste en dibujar un rectángulo por cada uno de los valores de la variable (), de modo que las bases sean todas iguales, y la altura de cada rectángulo puede ser la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa .

El diagrama de la derecha muestra la dependencia energética exterior, en porcentajes, de España y la Unión Europea en el año 1991.

b) Diagrama de sectores

Consiste en dividir un círculo en sectores circulares, uno para cada . El ángulo de cada sector será proporcional a la frecuencia y se calcula con una regla de tres simple.

c) Pictograma

Consiste en realizar dibujos alusivos a la distribución que se desea representar. En muchas ocasiones son gráficos poco precisos, aunque fáciles de interpretar a simple vista.

d) Cartogramas

Consiste en representar sobre un mapa cualquier tipo de datos relacionados con un área geográfica.

5.- GRÁFICOS PARA VARIABLES ESTADÍSTICAS CUANTITATIVAS.

Los gráficos más utilizados para representar distribuciones de variable cuantitativas, tanto discretas como continuas, son los que se describen a continuación.

a) Diagrama de barras o de columnas

Representan distribuciones de variables discretas por medio de barras o de columnas independientes, situadas encima de la variable representada. En muchas ocasiones se superponen dos o más diagramas con el fin de comparar los datos de diferentes situaciones.

El gráfico muestra la procedencia de la producción de electricidad, por fuentes, de España.

b) Diagrama de frecuencias (o polígono de frecuencias)

Se obtiene uniendo los extremos más altos de las barras o columnas mediante una línea quebrada.

c) Histogramas

Son análogos a los diagramas de barras o columnas pero para variables cuantitativas continuas

Consisten en rectángulos cuyas bases son cada uno de los intervalos y la altura es la frecuencia absoluta correspondiente a dicho intervalo.

El número de empleados de cien pequeñas empresas de un determinado polígono industrial, recogidos en una tabla del margen pueden verse representados en el histograma que sigue.

Ejercicios:

5.- En este diagrama de sectores aparecen representados el número de hermanos de un grupo de 36 alumnos de 1º de Bachillerato. Construye la tabla de frecuencias absolutas correspondiente.

6.- Las dianas logradas en un campeonato por 25 tiradores fueron:

8, 10, 12, 12, 10, 10, 11, 11, 10, 13, 9, 11, 10, 9, 9, 11, 12, 9, 10, 9, 10, 9, 10, 8, 10

Resume los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas, y dibuja el correspondiente diagrama de barras.

7.- Se ha realizado un test de habilidad numérica a los alumnos de una clase. Los resultados obtenidos son:

Puntos
Nºde alumnos	4	6	6	10	8	10	3	3

Representa los datos mediante un histograma

8.- Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

x
Nº trabajadores	7	8	15	25	18	9	6

1.- ORIGEN Y SIGNIFICADO DE LA ESTADÍSTICA

Definición.- La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y análisis; así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse.

Fases de un estudio estadístico:

Ø Recogida de datos

Ø Recuento de datos: tablas y gráficos estadísticos.

Ø Análisis de los datos: parámetros estadísticos.

Ø Extracción de conclusiones de los datos.

Ø Toma de decisiones.

Podemos distinguir entre dos clases de Estadística:

2.- CONCEPTOS BÁSICOS EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO.

· Población.- Es el conjunto formado por todos los elementos que existen para el estudio de un determinado fenómeno.

· Individuo u objeto.- Es cada elemento de la población.

· Muestra.- Es el subconjunto que tomamos de la población para determinar el estudio del fenómeno.

· Tamaño de la muestra.- Es el número de individuos que componen la muestra.

· Variable o carácter estadístico.- Es la cualidad o propiedad del elemento de la población que se analiza en el estudio estadístico.

Tipos de variables:

Ø Variables cualitativas: no se pueden medir y se describen con palabras.

Ejemplos: razas de perro, estado civil de una persona, color de ojos…

Ø Variables cuantitativas: se pueden medir y expresar con números.

Pueden ser de dos tipos:

- Discretas: solo pueden tomar un número finito de valores numéricos:

Ejemplos: número de hermanos, número de parados de una ciudad, número de habitantes menores de edad…

- Continuas: pueden tomar cualquier valor en un intervalo dado.

Ejemplos: estatura de una persona, peso de una persona…

Ejemplo completo:

Se desea realizar un estudio sobre el número de hijos por familia en la provincia de Ciudad Real.

- Población: familias de Ciudad Real.

- Individuo: cada una de las familias.

- Muestra: elegimos una muestra aleatoria (al azar) de 1000 familias distribuidas por toda la provincia.

- Tamaño de la muestra: 1000

- Variable: número de hijos. Es una variable cuantitativa y discreta.

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Ejercicios:

1.- Clasifica las siguientes variables estadísticas:

a) Número de músculos de los animales vertebrados.

b) Intención de voto.

c) Velocidad que, en un instante dado, llevan las motocicletas que circulan por las carreteras y calles de una gran ciudad española.

d) Talla de pantalones de los alumnos de tu centro.

e) Tipos de zumos que prefieren los adolescentes.

f) Temperatura mínima en tu ciudad cada día del año.

g) Las marcas de los coches que circulan en España.

h) Deporte practicado por los chicos y chicas de tu centro.

i) La duración de cada pila eléctrica producida por una empresa durante un semestre.

3.- RECUENTO. TABLAS ESTADÍSTICAS.

Una vez que tenemos los datos recogidos, pasamos a hacer el recuento: contanto el número de veces que aparece cada valor de la variable a estudiar.

Ejemplo 1.- Preguntamos a 20 alumnos el número de miembros de su familia, y sus respuestas fueron:

3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3

Miembros por familia	Frecuencia
3	5
4	4
5	6
6	2
7	2
8	1